ਸਫੈਦ-ਸਿਆਹ ਤਰਕਸ਼ੀਲਤਾ ਦੇ ਪਾਰ

ਡਾ. ਸੁਰਿੰਦਰ ਪਾਲ ਸਿੰਘ

ਸੱਚ ਕੀ ਹੈ? ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕਾਂ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਆਮ ਲੋਕਾਈ ਤੱਕ ਚਰਚਿਤ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਆਮ ਧਾਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਸੱਚ ਨਜ਼ਰੀਏ ’ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਕੀ ਕੋਈ ਨਜ਼ਰੀਆ ਅਜਿਹਾ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ਹਰ ਨਜ਼ਰੀਏ ਦਾ ਸੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਾ ਸਕੇ? ਕੀ ਅਜਿਹੇ ਸਾਧਾਰਨ ਜਿਹੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਵੀ ਸਾਧਾਰਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਹਰ ਸਵਾਲ ਨੂੰ ਸਫੈਦ-ਸਿਆਹ ਤਰਕ ਰਾਹੀਂ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਜਾਂ ਲੱਖਾਂ ਵਾਰ ਸਫਲ ਹੋ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਉਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਫਲ ਹੋਵੇਗਾ? ਗਣਿਤਕਾਰ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ ਤਾਂ ਇੰਞ ਹਰਗਿਜ਼ ਨਹੀਂ। ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ ਇਹ ਕਥਨ ਕਿ ‘ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਲੱਖ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ’ ਇੱਕ ਲੱਖ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (0,1,2,...) ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿਚ ਇਹ ਸਾਰੇ ਰਿਣਾਤਮਕ (negative) ਅੰਕਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ ਜੋ ਬੇਅੰਤ (infinite) ਹਨ। ਫਿਰ ਵੀ, ਉਪਰੋਕਤ ਕਥਨ ਸੱਚ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਕਥਨ ਦੀ ਸੱਚਾਈ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਠੋਸ ਸਬੂਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਬਹੁ-ਗੁਣਾ ਤਸਦੀਕ ਦੀ।
ਇਸ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿਚ ਗੋਲਡਬਾਕ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ (Goldbach conjecture) ਜ਼ਿਕਰਯੋਗ ਹੈ ਜਿਸ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ ਦੋ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ 4=2 2, 6=3 3, 12=5 7, 90=7 83 ਆਦਿ। ਇਸ ਨੂੰ 4×10^18 ਤੱਕ ਸਾਰੀਆਂ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਤਸਦੀਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਚੁੱਕਾ ਹੈ ਪਰ ਢਾਈ ਸੌ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੀ ਵੱਧ ਪੁਰਾਣਾ ਸਿੱਧਾ ਜਿਹਾ ਇਹ ਸਵਾਲ ਅਜੇ ਤੱਕ ਗਣਿਤਕਾਰਾਂ ਲਈ ਬੁਝਾਰਤ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਿਆ।
ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਸਬੂਤ ਦਾ ਕੀ ਭਾਵ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਸਿੱਟੇ ’ਤੇ ਪੁੱਜਣ ਲਈ ਨਿਯਮਬੱਧ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦਲੀਲਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ। ਇਸ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਉਦਾਹਰਨ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਚਲੋ ਸਾਬਿਤ ਕਰੀਏ ਕਿ ‘ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਿਸਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ’; ਜਿਵੇਂ 2 2=4, 6 8=14 ਆਦਿ ਜਿਸਤ ਹਨ ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਉੱਪਰ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਲੱਖਾਂ ਕਰੋੜਾਂ ਤਸਦੀਕਾਂ ਵੀ ਕਾਫੀ ਨਹੀਂ।
ਮੰਨ ਲਵੋ x ਅਤੇ y ਦੋ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਕਰ ਕੇ ਦੋ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (natural numbers) m ਅਤੇ n ਹੋਣਗੀਆਂ ਤਾਂ ਜੋ x=2m=m m ਅਤੇ y=2n=n n) ਹੋਵੇ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ x y=2m 2n=2(m n) ਹੋਵੇਗਾ। m ਅਤੇ n ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ m n ਵੀ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ x y=2(m n) ਵੀ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ ਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਨਿੱਕੇ ਜਿਹੇ ਸਬੂਤ ਮਗਰੋਂ ਤੱਥ ਨੂੰ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਲੱਖਾਂ ਵਾਰੀ ਅਜ਼ਮਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਜਾਂਦੀ।
ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਦਾ ਮਕਸਦ ਸਿਰਫ ਗਣਿਤਕ ਸਬੂਤ ਅਤੇ ਬਹੁਗੁਣਾ ਤਸਦੀਕ ਦਾ ਫਰਕ ਉਜਾਗਰ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅੱਠਵੀਂ ਜਮਾਤ ਦੇ ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਵੀ ਅਕਸਰ ਇਸ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ ਅਜਿਹਾ ਵੀ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਗਣਿਤਕਾਰ ਨੇ ਕਈ ਵਰ੍ਹੇ ਲਗਾ ਕੇ ਕੋਈ ਗੁੱਥੀ ਸੁਲਝਾਈ ਜਿਸ ਦੀ ਪਰਖ ਲਈ ਸਮੀਖਿਆਕਾਰਾਂ ਨੇ ਹੋਰ ਵਰ੍ਹਿਆਂ ਬੱਧੀ ਸਮਾਂ ਲਗਾ ਦਿੱਤਾ। ਉਪਰੋਕਤ ਤੱਥ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿਚ ਅਸੀਂ ਅਚਨਚੇਤ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭਲਾ ਕਿਉਂ? ਇਹ ਵੀ ਸਾਫ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਕੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੱਲ ਨੂੰ ਤਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ ’ਤੇ ਸਿੱਧ ਜਾਂ ਰੱਦ ਕਰਨ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਅਸੂਲ ਘੜੇ ਜਾਣ ਤਾਂ ਜੋ ਬਾਅਦ ਵਿਚ ਕੋਈ ਰੌਲਾ ਨਾ ਪਵੇ।
ਬਹੁਤੀ ਵਾਰ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦਾ ਟਕਰਾਓ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਅਸਲ ਵਿਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦਾ ਟਕਰਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਸੌਖਾ ਕਰ ਕੇ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕੁਝ ਕੁ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੁਝ ਵਰ੍ਹੇ ਪਹਿਲਾਂ ਟੀਵੀ ’ਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਆਉਂਦਾ ਸੀ: ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਪਤਨੀ ਦੇ ਕਹਿਣ ’ਤੇ ਬਾਜ਼ਾਰ ਵਿਚ ਲਾਲ ਰੰਗ ਦਾ ਬੈਗ ਖਰੀਦਣ ਚਲਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਦੁਕਾਨ ’ਤੇ ਪੁੱਜ ਕੇ ਪਤਨੀ ਨੂੰ ਫੋਨ ’ਤੇ ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਲਾਲ ਲਿਆਵਾਂ; ਸੇਬ ਰੰਗਾ, ਚੈਰੀ ਰੰਗਾ, ਇੱਟ ਰੰਗਾ ਕਿ ਲਹੂ ਰੰਗਾ?
ਮੈਂ ਜਦ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪੋਲੈਂਡ ਕਿਸੇ ਕਾਨਫਰੰਸ ਲਈ ਗਿਆ ਤਾਂ ਉਥੇ ਪਰੋਸੇ ਭੋਜਨ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛਿਆ, “ਇਹ ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ (vegetarian) ਹੈ?” ਜਵਾਬ ਮਿਲਿਆ, “ਨਹੀਂ ਸਰ, ਇਸ ਵਿਚ ਕੋਈ ਸਬਜ਼ੀ (vegetable) ਨਹੀਂ।” ਫਿਰ ਪੁੱਛਿਆ, “ਕਿਤੇ ਇਸ ਵਿਚ ਆਂਡਾ, ਮਾਸ ਜਾਂ ਮੱਛੀ ਤਾਂ ਨਹੀਂ?” ਅਸਲ ਵਿਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੈਂ vegetarian ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸਿ਼ਤ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦਾ ਜਵਾਬ ਮਿਲ ਗਿਆ।
ਖ਼ੈਰ, ਤਰਕ ਦੇ ਰਾਹਾਂ ’ਤੇ ਤਿਲਕਣਾਂ ਬਥੇਰੀਆਂ ਹਨ। ਬੜਾ ਸੰਭਲ ਕੇ ਚੱਲਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਖੇਡਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਖੇਡ ਦੇ ਨਿਯਮ ਤੈਅ ਕਰ ਲਏ ਜਾਣ, ਉਵੇਂ ਹੀ ਤਰਕ ਦੀਆਂ ਤੰਦਾਂ ਵਿਚ ਉਲਝਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਨੀਆਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਕਿ ਜੋ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਸਭ ਵੱਲੋਂ ਉਹੋ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇ ਪਰ ਹਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫਿਲਾਸਫਰ ਅਕਸਰ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਹੋਰ ਤਾਂ ਹੋਰ, ਕੁਰਸੀ ਅਤੇ ਮੇਜ਼ ਜਿਹੇ ਸਾਧਾਰਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸਿ਼ਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਬੜਾ ਟੇਢਾ ਕੰਮ ਹੈ।
ਹਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ ਕੁਝ ਲਫ਼ਜ਼ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਰ ਲਫ਼ਜ਼ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਲਫ਼ਜ਼ਾਂ ਲਈ ਹੋਰ ਤੇ ਹੋਰ ਲਫ਼ਜ਼। ਇਹ ਸਿਲਸਿਲਾ ਕਦੇ ਨਾ ਮੁੱਕਣ ਵਾਲਾ ਹੈ ਪਰ ਲਫ਼ਜ਼ ਬੇਅੰਤ ਨਹੀਂ, ਸੀਮਤ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਘੁੰਮਣਘੇਰੀ ਵਿਚ ਫਸਣਾ ਤੈਅ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇ ਅਮੁੱਕ ਸਿਲਸਿਲੇ ਵਿਚ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦ ਆਖ਼ਰਕਾਰ ਦੁਹਰਾਏ ਹੀ ਜਾਣਗੇ। ਇਸੇ ਹੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਰਕ ਦੀ ਘੁੰਮਣਘੇਰੀ ਹੋਰ ਵੀ ਪੇਚੀਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ’ਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਸੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਸੱਚ ਮੰਨ ਲੈਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਹਿਣਾ ਕਿ ਫਲਾਣੀ ਗੱਲ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਸ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ ਸਹੀ ਹੈ।
ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਕੁਝ ਮਨੌਤਾਂ ਤੈਅ ਕਰ ਲਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (axiomatic system) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀ ਸਦੀ ਦੇ ਡੂੰਘੇ ਚਿੰਤਨ ਮਗਰੋਂ ਗਣਿਤਕਾਰਾਂ ਨੇ ਜ਼ਰਮੈਲੋ-ਫਰੈਂਕਿਲ ਦੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (Zermelo Fraenkel axiomatic system) ਵਿਚ ਤਕਰੀਬਨ ਸਰਬਸੰਮਤੀ ਨਾਲ ਭਰੋਸਾ ਜਤਾਇਆ ਹੈ।
1904 ਵਿਚ ਜਰਮਨੀ ਦੇ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜ਼ਰਮੇਲੋ ਨੇ ਅਸੰਭਵ ਜਾਪਣ ਵਾਲਾ ਸਿਧਾਂਤ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਿਸ ਅਨੁਸਾਰ ਸਭ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (real numbers) ਨੂੰ ਅਸੰਭਵ ਜਿਹੀ ਹੈਰਾਨੀਕੁਨ ਤਰਤੀਬ ਵਿਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਘੋਖਣ ’ਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਆਇਆ ਕਿ ਇਸ ਵਿਚ ‘ਚੁਣਨ ਦੀ ਮਨੌਤ’ (Axiom of Choice) ਨੂੰ ਬਿਨਾ ਕਿਸੇ ਸ਼ੱਕ ਦੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚੁਣਨ ਦੀ ਮਨੌਤ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝ ਸਕਦੇ ਹਾਂ- ਮੰਨ ਲਵੋ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਕੁਝ ਸੇਬਾਂ ਦੀਆਂ ਪੇਟੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਖਾਲੀ ਨਹੀਂ, ਤੁਸੀਂ ਹਰ ਪੇਟੀ ਵਿਚੋਂ ਇੱਕ ਸੇਬ ਲੈ ਕੇ ਸੇਬਾਂ ਦਾ ਢੇਰ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਪਾਠਕ ਸ਼ਾਇਦ ਹੈਰਾਨ ਹੋਣਗੇ ਕਿ ਸਿੱਧ-ਪੱਧਰੀ ਜਿਹੀ ਲੱਗਣ ਵਾਲੀ ਇਸ ਮਨੌਤ ਨੂੰ ਇੰਨੀ ਤਵੱਜੋ ਕਿਉਂ? ਖੈਰ, ਜਿ਼ਆਦਾਤਰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਅਤੇ ਅਨੁਭਵੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਮੂਰਤ (abstract) ਗਣਿਤ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਵਿਚ ਜਦੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਸੈੱਟਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਇਹ ਮਨੌਤ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਬੁਝਾਰਤਾਂ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਮਨੌਤ ਤੋਂ ਕਈ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਉਪਜਦੇ ਹਨ। 2006 ਵਿਚ ਛਪੀ ਹਾਰਲੀਚ (Herrlich) ਦੀ ਕਿਤਾਬ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਬਹੁਪਰਤੀ ਪਸਾਰਾਂ ’ਤੇ ਚਾਨਣ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਚੁਣਨ ਦੀ ਮਨੌਤ ਨੂੰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ ਰੱਦ ਕਰ ਕੇ, ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 2019 ਵਿਚ ਏਡੀ ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਐੱਸ ਵੈਗਨ ਨੇ ਲੇਖ ਲਿਖਿਆ ਜਿਸ ਦਾ ਸਿਰਲੇਖ ਸੀ: ‘ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੇ ਖਾਤਮੇ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ’। ਇਸ ਵਿਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚੁਣਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਕੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਜਮਾਤਾਂ ਵਿਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇ ਦਵੰਦ ਵਿਚੋਂ ਨਿੱਕਲਣ ਲਈ ਗਣਿਤਕਾਰਾਂ ਨੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਅਸੂਲਾਂ ਜਾਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦਾ ਖਾਕਾ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ ਜੋ ਗਣਿਤ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਢਾਂਚੇ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕੇ। ਸਾਲ 1900 ਵਿਚ ਹਿਲਬਰਟ (Hilbert) ਨੇ ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੀ ਕੌਮਾਂਤਰੀ ਕਾਂਗਰਸ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਉਦਘਾਟਨੀ ਭਾਸ਼ਣ ਵਿਚ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਕਿ ਕੁਝ ਆਧਾਰ-ਭੂਤ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਪੇਸ਼
ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੀਹਾਂ ਉੱਤੇ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸ਼ਾਨਾਂਮੱਤਾ ਮਹਿਲ ਖੜ੍ਹਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਵੀਹਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਗਣਿਤਕਾਰਾਂ ਲਈ ਅਹਿਮ ਟੀਚੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਚਾਰਿਆ ਗਿਆ।
1931 ਵਿਚ ਗੋਡੇਲ ਨੇ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਕਿ ਹਰ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (axiomatic system) ਦੁਆਰਾ ਕੁਝ ਸਵਾਲ ਖੜ੍ਹੇ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਾ ਤਾਂ ਸਾਬਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰੱਦ। ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਫੈਸਲਾਕੁਨ ਨਹੀਂ ਕਹੀ ਜਾ ਸਕਦੀ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਬੜੇ ਸਿੱਧ ਪੱਧਰੇ ਸਵਾਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸਫੈਦ-ਸਿਆਹ ਜਵਾਬ ਦੀ ਬਜਾਇ ਬੇਅੰਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ:
ਸਵਾਲ: ਕੀ ਫਲਾਣਾ ਦਾਅਵਾ ਸੱਚ ਹੈ?
ਸੰਭਾਵੀ ਜਵਾਬ: 1) ਹਾਂ ਸੱਚ ਹੈ; 2) ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ; 3) ਇਸ ਨੂੰ ਨਾ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰੱਦ; 4) ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰੱਦ ਕਿ ਫਲਾਣਾ ਦਾਅਵਾ ਨਾ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰੱਦ।
*ਪੰਜਾਬ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ, ਚੰਡੀਗੜ੍ਹ।
ਸੰਪਰਕ: 98761-97191